binom katsayılarını içeren, üstteki iki sayının toplamının alta, ikisinin ortasına yazılmasıyla oluşturulmuş üçgensel bir dizidir. şurada bir görseli var, hatta eğer sözlükte bu işlere bakan kişi uygun görürse bunu başlık fotoğrafı yapsın. ne işe yaradığına geleceğim ama önce geçmişinden bahsedelim.
bu üçgen, blaise pascal'a ithafen bu ismi almıştır. ancak tarihsel olarak baktığımızda çok daha eskilerde denklem çözümleri yapıldığını biliyoruz. nitekim ömer hayyam denklemler üzerine çalışmalarıyla ünlüdür ve bu üçgen sıklıkla hayyam üçgeni olarak da bilinir. hatta bazı matematik öğretmenleri direkt hayyam üçgeni olarak öğretir. tarihi bundan da eskiye gidiyor olabilir ama artık pascal üçgeni olarak kalıplaştığı için bu ismiyle başlık açtım. gelelim ne işlere yaradığına.
(burada lütfen görselini paylaştığım üçgene bakın)
1) tam kuvvet ifadelerinin katsayılarını verir.
mesela (x+y)^3 ifadesinin açılımında bu üçgenin üçüncü satırındaki sayılar (sadece 1 yazan ilk satırı saymayın) katsayıları verir.
x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3
buradaki sırasıyla 1, 3, 3, 1 katsayıları pascal üçgeni'nde yer almaktadır.
2) kümelerin eleman sayılarına göre alt küme sayılarını verir.
mesela {a, b, c, d} şeklinde bir küme olsun.
bunun;
0 elemanlı alt küme sayısı: 1
1 elemanlı alt küme sayısı: 4
2 elemanlı alt küme sayısı: 6
3 elemanlı alt küme sayısı: 4
4 elemanlı alt küme sayısı: 1
pascal üçgeni'nin dördüncü basamağındaki sayıları vermektedir.
aslıdna bu okullarda kombinasyonla öğretilir. 2 elemanlı alt küme sayısını bulmak için 4'ün 2'li kombinasyonu alınır, o da 6 çıkar zaten. pascal üçgeni de bunu sağlar. zaten pascal üçgeni ile kombinasyon arasındaki ilişkiyle de bunu anlayabiliriz.
3) bir ya da daha fazla paranın atıldığı yazı tura hesaplarında kullanılabilir. pascal'ın kumar sorularını çözmek için olasılık teorisi'ni ortaya attığını düşünürsek muhtemelen bunun üzerine çalışmaktaydı kendisi.
2 parayı atarsak;
ikisinin de yazı gelme olasılığı: 1/4
birinin yazı diğerinin tura gelme olasılığı: 2/4
ikisinin de tura gelme olasılığı: 1/4
burada 4 (2^2) (o satırdaki elemanların toplamı) toplam durumken, paya yazılan 1, 2 ve 1 yine pascal üçgeni'nde 2. satırdaki sayılardır.
3 parayı atarsak:
üçünün de yazı gelme olasılığı: 1/8
ikisinin yazı birinin tura gelme olasılığı: 3/8
ikisinin tura birinin yazı gelme olasılığı: 3/8
üçünün de tura gelme olasılığı: 1/8
buradaki 8, üçüncü satırdaki elemanların toplamı, paydaki sayılar ise pascal üçgeninde üçüncü basamakta yazan sayılardır.
bunlar dışında birçok kullanım alanı vardır, özellikle serilerle ve dizilerle alakalı. mesela şurada satranç tahtasında en kısa yolun bulunmasından bahsedilmiş: math4teaching.com/...
böyle bir üçgene sahip olduğumuz için gerçekten çok şanslıyız.