momentum'un türevinden gelen ifade. yani, f=dp/dt ifadesinden gelir. bu matematiksel ifade ise "kuvvet (f) momentumdaki (p) değişime eşittir" demektir.
momentum, cismin kütlesi (m) ile hızının (v) çarpımıdır; p=mv. dolayısıyla; f=m(dv/dt)+v(dm/dt) olur. eğer ki cismin kütlesi değişmiyorsa f=m(dv/dt) şeklindedir. burada dv/dt, yani hızdaki değişim, ivme (a) demektir. böylece f=ma bulunur.
buraya kadar yazılanlar aslında çizgisel hareket için olan ifadelerdir. hayatımızda dönen, dairesel hareket yapan cisimler de vardır.
m kütleli bu cisim bir merkez etrafında, r yarıçapı ile dönüyor olsun;
bu durumda cismimizin bir açısal hızı (w) da vardır. bu cismin çizgisel hızı (v) konumundaki (s, yani daire yayı) değişimin ifadesiyse (v=ds/dt); açısal hız da cismin merkez etrafında taradığı açının (theta) değişimidir (w=d(theta)/dt). burada bizi güzel bir bağıntıya götüren s=theta*r (dairenin çevresinin 2*pir olduğunu hatırlayınız.) ilişkisidir. bu bağıntının zamana göre değişimini incelersek (yani her iki tarafın zamana göre türevini alırsak) ds/dt=d(theta)/dt*r elde edilir. bu da bizi v=w*r bağıntısına götürür.
dönelim f=m(dv/dt)'ye. v=w*r bağıntısı kullanılırsa f=m*r(dw/dt) olur. burada akıllara tork/moment gelmelidir. işe onu da katarsak açısal hızın ve torkun olduğu güzel bir ifade elde edebiliriz. nedir tork/moment? döndürme etkisi yapan kuvvettir tanımıyla. bizim cismimize de yarıçapa dik olacak şekilde bir f kuvvetinin etki ettiğini düşünürsek burada tork; t=f*r olarak tanımlanır. f=m*r(dw/dt) ifadesine dönersek; denklemin her iki tarafını r ile çarptığımızda t=m*rr(dw/dt) ifadesiyle tork ve açısal hız arasındaki bağıntıya ulaşırız. tabi, burada tanıdık gelecek olan kısım m*rr kısmıdır. yani, bir merkez etrafında r yarıçapı ile dönen noktasal kütlenin eylemsizlik momenti (j). anlaşılacağı üzere, j dönme merkezine ve dolayısıyla yarıçapa bağlı olduğu gibi kütleye de bağlıdır.
buraya kadar olan kısımda m kütleli cismi noktasal bir cisim olarak düşündük. farklı şekillerdeki cisimler için tork ve açısal hız ilişkisini, buraya kadar yaptığımız şekilde f=ma ilişkisinden türetmek sonsuz küçüklükteki her dm kütlesi için hesap yapmak ve bunların toplamını almak anlamına gelecektir. bunun yerine, farklı şekildeki cismimizin tork ve açısal hızı arasındaki ilişkisini tek seferde bulmak eylemsizlik momentini j=integral{(r*r)dm} şeklinde hesaplamak ile mümkündür.
sonuç olarak;
f=m(dv/dt) ~~~ t=j(dw/dt)
şeklinde iki adet kardeş denklem elde ettik. burada söylememiz gereken önemli ve son bir şey de torkun kuvvete benzer şekilde açısal momentumdaki (l) değişim olmasıdır. yani, t=dl/dt. tahmin edileceği üzere açısal momentum da l=jw şeklindedir. dolayısıyla;
