mathematical logic dersinde işlenen bir konudur. zaman içinde berber paradoksu ve yamyam paradoksu gibi gerçek hayat senaryoları ortaya atılmış, çok iyi matematik bilmeyen insanların da paradoksu anlaması hedeflenmiştir. ünlü matematikçi ve filozof bertrand russell tarafından ortaya atılmıştır.
bu paradoks, zamanında tüm matematik dünyasını yerinden sarsmış, sonra da çözülmesiyle matematiğin temellerini daha da sağlamlaştırmıştır.
sezgisel kümeler kuramı*, alman matematikçi georg cantor tarafından matematiksel terimlerle formal hale getirildi. ancak o dönemler küme nedir çok iyi bilmiyorlardı. her önlerine geleni bir kümeye dahil ediyorlardı. 1901'de bertnard russell bu formalizasyonun matematikte bir çelişkiye yol açtığını fark etti. aslında kendisinden önce, ernst zermelo adlı matematikçi ortadaki çelişkiyi fark etmişti ama yayınlamayıp sadece meslektaşlarına söylemekle yetinmişti.
alman matematikçi gottlob frege, aritmetiğin temelleri adlı kitabının birinci cildini yayımladıktan 9 sene sonra ikinci cildini henüz yeni tamamlayabilmişken, çelişkiyi fark eden russell'dan bir mektup alır. mektubu okuduktan sonra adeta yıkılmıştır; çünkü çelişki doğrudur, yazmak için yıllar harcadığı ve 9 yıllık emek sonucu henüz tamamladığı kitabın bütün temellerini sarsmıştır, kendisi 54 yaşındadır ve tekrar yazacak takati kalmamıştır, ve paradoksu nasıl çözeceğini de bilmemektedir. kamyon çarpmışa dönen frege, russell'a şu cevabı verir:
"bulduğunuz çelişki beni çok büyük şaşkınlığa, belki büyük üzüntüye demek daha doğru olur, uğrattı, çünkü, aritmetik kuramını dayandırdığım temeli sarstı. bana öyle geliyor ki […] beşinci kuralım yanlış (20. bölüm, sayfa 36), 31. bölümde sunduğum açıklamalar yeterli değil. durum öylesine ciddi ki, 5. kuralın yanlışlığı, salt öne sürdüğüm temeli sarsmakla kalmıyor, galiba aynı zamanda aritmetiğin sağlam bir temele dayandırılamayacağını da gösteriyor. […] her durumda buluşunuz çok önemli ve şimdilik bir müjde niteliğini taşımasa da ilerde mantıkta büyük ilerlemelere neden olabilir.
[…]
grundgesetze’nin ikinci cildi yakında çıkacak. kitabın sonuna bulduğunuz çelişkiden sözeden bir ek yazacağım elbet. keşke doğru görüş açısına zamanında sahip olsaydım.
saygılarımla,
g. frege"
ve kitabının ikinci cildinin sonsözüne de şunları yazar:
"bir bilim insanı için, yapıtı biter bitmez temellerinin yıkılmasından daha korkunç bir şey düşünülemez. yapıt tam baskıya hazırlanırken bay bertrand russell’dan aldığım bir mektup beni işte bu duruma soktu."
cantor'un kümeler kuramı'na göre her topluluk bir küme olarak kabul ediliyordu. buna kümeler kümesi de dahildi. r kendisini içermeyen kümeler kümesi olsun. eğer r kümesi, kendi kümeler kümesinin bir elemanı değilse, tanıma göre kendisini içermelidir çünkü r kendisini içermeyen kümeler kümesidir. eğer r kümesi, kendi kümeler kümesinin bir elemanı ise bu kez de tanıma göre r kendisini içermeyen bir kümedir çünkü r kendisini içermeyen kümelerden oluşur.
böyle yazınca çok karışık oluyor o yüzden formal tanımını da yazacağım (tabii sözlükte zor, o yüzden sözel şekilde yazacağım. matematiksel haline wikipedia'dan bakabilirsiniz):
r kümesi kendisini içermeyen kümelerden oluşuyorsa; r elemanıdır r koşulu ancak ve ancak r elemanı değildir r koşulu doğru ise doğrudur. sanırım buradan çelişki daha net anlaşılıyor.
sonrasında russell, 1908 yılında tipler kuramı ile paradoksu çözmüştür ve matematiğin onurunu kurtarmıştır. aslında tipler kuramı geniş kapsamlı bir kuramdır. bu teoride indirgenebilirlik aksiyomuyla objeleri hiyerarşik olarak sınıflandıran russell, kümeleri derecelendirerek n. dereceden bir kümeyi tanımlamak için en yüksek (n-1). dereceden kümelerin kullanılabileceğini söyler. mesela üçüncü dereceden bir kümeyi sadece birinci ve ikinci dereceden kümeler tanımlayabilir, böylece paradoksa yol açan tüm kümeler kümesi ifadesi matematikte geçersiz bir ifade haline gelir ve paradoks ortadan kalkmış olur.
paradoksu çözen bir diğer matematikçi ise ernst zermelo'dur. kendisi olaya mantıktan ilerleyerek yaklaşmıştır. zermelo set theory olarak isimlendirilen kuram, küme oluşturmadaki tanımda yer alan "tanımlanan her" kısmını "doğru tanımlanmış her" olarak değiştirmiştir.
p(x) bir predicate* ve a bir küme olmak üzere, p(x) koşulunu sağlayan* bütün x'lerin a kümesinin elemanı olacağını söylemiştir.
{ x ∈ r : x>0 }
örneğin yukarıdaki zermelo set theory ile tanımlanmış pozitif reel sayılar kümesidir, ve günümüzde halen geçerlidir. böylece russell paradoksu'na izin veren p(x) koşulunu sağlayan x'lerin kümesini (aşağıda tanımı olan) geçersiz hale getirmiştir.
{ x : p(x) } (p(x)'i; x, x'in elemanı değildir koşulu olarak tanımlayınca paradoks oluşuyordu.)
- matematiğin temelleri bir dönem sarsıldıktan sonra daha sağlam hale gelmiştir.
- zermelo'nun bu paradoksun çözümünde kullandığı teorisi geliştirilip zermelo–fraenkel kümeler kuramı (kısaca zfc diye geçer. c harfi choice kelimesini temsil etmektedir) ortaya atılmıştır.
- matematik modern bir kümeler kuramı kazanmış oldu.
- matematikçiler genel olarak russell'in çözümünün, cantor'un sezgiciliğinden pek bir farkı olmadığını düşünmüşler ve eleştirmişlerdir. yaygın olarak zermelo'nun kuramı (geliştirilmiş zfc versiyonuyla) geçerli görülmüştür.
- ilerleyen yıllarda kurt gödel, matematiğin çelişkisiz olduğunun kanıtlanmasının imkansız olduğunu kanıtlamıştır. (bkz: gödel's incompleteness theorem)
- sonraları avusturyalı filozof ve mantıkçı ludwig wittgenstein, russell'a vermiş veriştirmiştir.
- olaydan en zararlı çıkan ise frege olmuştur.
